아인슈타인 표기법을 간단하게 설명하면,

을 간단하게,

으로 표기하는 것이다(여기서 n 은 잘 알려진 것이어야한다)[1]

사실 나는 그냥 dummy index 인 i 에 대해 summation 기호를 없애는 정도로만 알고 있었는데, 실제로는 좀 더 복잡한(관습적인, conventional) 규칙이 있다[2].

아인슈타인 표기법은 1916년에 아인슈타인이 소개한 것으로 일반 상대성 이론을 기술하기 위해서 텐서를 도입했는데, 이 때 텐서를 사용한 수식들이 '아주 지저분'해지기 때문에, 좀 더 간편하게 표기하기 위해 도입했다(난 필기 속도가 무진장 느려서 필기를 빨리 하기 위해 도입했다. ㅡ,.ㅡ).

먼저, 텐서라는 것이 있는데, 텐서는 스칼라(scalar), 벡터(vector), 행렬(matrix) 를 모두 포함하고 그 상위 랭크까지 모두 포함하는 수학적인 단위(quantity, geometrical entity)로, 텐서를 표기할 때는 윗첨자와 아래첨자가 구분되어 사용된다(보통은 와 가 같은 경우가 많은데, 엄밀히 말하면 다르다. 여기서 윗첨자는 지수가 아니다). 아인슈타인 표기법을 위해 텐서를 알 필요는 없고, 윗첨자와 아래첨자가 구분되어 사용된다는 것이 중요하다.

아인슈타인 표기법의 첫번째 규칙[3]은, 같은 윗첨자와 아랫첨자가 동시에 있을 때 이 첨자로 합을 하는 것이다. 행렬과 벡터의 연산을 생각해보자, A = B x C 이라고 할 때, 행렬 B 는 n x n, 벡터 C 는 n x 1 이다.

아랫첨자는 그대로 아랫첨자에 있어야 한다는 점을 주목하자.

두번째 규칙은 dummy index 에서 라틴어(알파벳)와 그리스문자(Greek)의 구별이다. 일반적으로 라틴어인 i, j, k 같은 것들은 3-vector 를 뜻해서 0, 1, 2 이나 1, 2, 3 의 값으로 계산한다. 반면, 나 는 0, 1, 2, 3, 4 의 4-vector 를 나타내게 된다(4-vector 는 공간에 시간을 추가한 시공간을 나타낸다).

실제로 내가 아무렇게나 사용했던 과는 다르게 관습적으로 정해진 규칙이 있었다. 보기에는 편해보이지만, 이러한 표기 법 때문에 처음에는 더 복잡하게 받아들여질 수도 있다(예시로 수식 좀 적다가 말았다). 하지만 궁극적으로는 매우 편리한 표기법이고, 특히나 텐서처럼 인덱스가 복잡하게 꼬일 경우 좋은 도구가 될 수 있다.

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